Лента Мёбиуса (петля́ Мёбиуса, лист Мёбиуса) — простая с виду фигура, но математик сказал бы, что это двумерная поверхность с удивительными свойствами: у неё только одна сторона и один край, в отличие от обычного кольца, которое можно свернуть из той же полоски, что и ленту Мёбиуса, но у него будет две стороны и два края. В этом легко убедиться, если нарисовать линию посередине ленты, не отрывая карандаш от бумаги, пока не вернётесь в исходную точку. Удивительно, но факт: за счёт полуоборота полоски её верхний и нижний края объединились в одну непрерывную линию, а две стороны превратились в единое целое и стали одной стороной. И вот результат: попасть из одной точки ленты Мёбиуса в любую другую можно, не переходя через край.
Бег по ленте Мёбиуса
Для стороннего наблюдателя путешествие по ленте Мёбиуса представляет собой «бег по кругу», полный неожиданностей. Его наглядно изобразил голландский художник-график Мауриц Эшер (1898—1972). На картине «Лента Мёбиуса II» в роли бегущих — муравьи. Проследив за их движением, можно сделать интересное открытие. Совершив один оборот по ленте, каждый муравей окажется в исходной точке, но уже в положении антипода, — зрительно он будет «по ту сторону» ленты вниз головой. А что произойдёт с двумерным существом, движущимся по ленте Мёбиуса? Обойдя поверхность, оно превратится в своё зеркальное отражение (это легко представить, если считать ленту прозрачной). Чтобы стать самим собой, двумерному существу придётся сделать ещё один круг. Вот и муравью нужно дважды пройти по ленте Мёбиуса, чтобы вернуться в начальное положение.
Научный курьез или полезное открытие
Ленту Мёбиуса часто называют математическим курьёзом. Да и само её появление приписывают случаю. По легенде, ленту придумал один немецкий учёный, когда увидел на горничной неправильно повязанный шейный платок. Это был, известный математик и астроном, ученик Карла Фридриха Гаусса. Одностороннюю поверхность с единственным краем он описал ещё в 1858 году, но статья не была опубликована при его жизни. В том же году независимо от Мёбиуса аналогичное открытие сделал Иоганн Листинг, ещё один ученик Гаусса.
Ленту всё же назвали в честь Мёбиуса. Она стала одним из первых объектов топологии — науки, изучающей наиболее общие свойства фигур, а именно такие, какие сохраняются при непрерывных (без разрезов и склеек) преобразованиях: растяжении, сдавливании, изгибании, скручивании и пр. Эти преобразования напоминают деформации фигур из резины, поэтому топологию иначе называют «резиновой геометрией». Отдельные топологические задачи решал ещё в XVIII веке Леонард Эйлер. Начало новой области математики положила работа Листинга «Предварительные исследования по топологии» (1847) — первый систематический труд по этой науке. Он же придумал термин «топология» (от греческих слов τόπος — место и λόγος — учение).
Ленту Мёбиуса можно было бы считать научным курьёзом, очередной причудой математиков, если бы она не нашла практического применения и не вдохновляла людей искусства. Её не раз изображали художники, ей ставили памятники скульпторы и посвящали свои творения писатели. Эта необычная поверхность приглянулась архитекторам, дизайнерам, ювелирам и даже изготовителям одежды и мебели. На неё обратили внимание изобретатели, конструкторы, инженеры (например, ещё в 1920-е годы были запатентованы аудио- и киноплёнки в форме ленты Мёбиуса, позволяющие удвоить продолжительность записи). Но чаще других с этой лентой имеют дело фокусники: их привлекают необычные свойства, проявляющиеся при её разрезании.Так, если разрезать ленту Мёбиуса по средней линии, она не распадётся на две части, как можно ожидать. Из неё получится более узкая и длинная двусторонняя лента, перекрученная дважды (подобную форму имеет конструкция аттракциона «Американские горки»). А вот «кулинарный фокус»: пирожные в виде ленты Мёбиуса покажутся вкуснее обычных, ведь на них можно намазать в два раза больше крема! Кроме того, есть интересные архитектурные проекты зданий, выполненные «в стиле ленты Мёбиуса». Пока они существуют только на бумаге, но, хочется верить, непременно будут реализованы.
«Двусмысленное» положение
Своими свойствами лента Мёбиуса в самом деле напоминает объект из Зазеркалья. Да и сама она, будучи асимметричной фигурой, имеет зеркального двойника. Отправим прогуляться вдоль ленты отпечаток правой ступни и вскоре обнаружим, что домой возвратится отпечаток левой ступни. Забавно, правда? И когда только «правое» успело стать «левым»? «Вмонтируем» в ленту двумерные часы и заставим их совершить по ней полный оборот. Взглянув на часы, мы увидим, что стрелки на циферблате движутся с той же скоростью, но в обратную сторону! И какое же из двух направлений движения правильное?
Пока вы думаете над ответом, замечу, что математик предложил бы изящный выход даже из этого «двусмысленного» положения. Нужно, чтобы, во-первых, часы всегда показывали одно и то же время, а во-вторых, стрелки на циферблате были в положении, которое сохранилось бы при зеркальном отражении, например стояли вертикально, образуя развёрнутый угол.
Ну что, проверим ответ? На самом деле на ленте Мёбиуса нельзя установить определённое направление вращения. Одно и то же движение можно воспринимать и как поворот по часовой стрелке, и как поворот в противоположном направлении. Когда произвольно выбранная на ленте Мёбиуса точка обходит её, одно направление непрерывно переходит в другое. При этом «правое» неуловимо сменяется «левым». Двумерное существо никаких изменений в себе не заметит. Зато их увидят другие такие же существа и, конечно, мы, наблюдающие за происходящим из другого измерения. Вот такая она непредсказуемая, односторонняя поверхность Мёбиуса.
Лента Мебиуса, которую также называют петлей, поверхностью или листом, – это объект изучения такой математической дисциплины, как топология, исследующей общие свойства фигур, сохраняющихся при таких непрерывных преобразованиях, как скручивание, растяжение, сжатие, изгибание и других, не связанных с нарушением целостности. Удивительной и неповторимой особенностью такой ленты является то, что он имеет всего одну сторону и край и никак не связаны с ее расположением в пространстве.
Лист Мебиуса является топологическим, то есть непрерывным объектом с простейшей односторонней поверхностью с границей в обычном Евклидовом пространстве (3-мерном), где возможно из одной точки такой поверхности, не пересекая края, попасть в любую другую.
Кто и когда ее открыл?
Такой непростой объект, как лента Мебиуса, был и открыт довольно необычно. Прежде всего отметим, что два математика, абсолютно не связанные между собой в исследованиях, открыли ее одновременно – в 1858 году. Еще одним интересным фактом является то, что оба этих ученых в разное время являлись учениками одного и того же великого математика - Иоганна Карла Фридриха Гаусса. Так, вплоть до 1858 года считалось, что любая поверхность обязана иметь две стороны. Однако Иоганн Бенедикт Листинг и Август Фердинанд Мебиус открыли геометрический объект, у которого была всего одна сторона, и описывают его свойства. Лента была названа в честь Мебиуса, а вот отцом-основателем «резиновой геометрии» топологи считают Листинга и его труд «Предварительные исследования по топологии».
Свойства
Ленте Мебиуса присущи следующие свойства, не меняющиеся при ее сжимании, разрезании вдоль или сминании:
1. Наличие одной стороны. А. Мебиус в своем труде «Об объеме многогранников» описал геометрическую поверхность, названную затем в его честь, обладающую всего одной стороной. Проверить это довольно просто: берем ленту или лист Мебиуса и стараемся закрасить внутреннюю сторону одним цветом, а внешнюю – другим. Не суть важно, в каком месте и направлении было начато окрашивание, вся фигура будет закрашена одним цветом.
2. Непрерывность выражается в том, что любую точку этой геометрической фигуры можно соединить с любой другой ее точкой, не пересекая границы поверхности Мебиуса.
3. Связность, или двухмерность, заключается в том, что при разрезании ленты вдоль, из нее не получится несколько разных фигур, и она остается цельной.
4. В ней отсутствует такое важное свойство, как ориентированность. Это значит, что человек, идущий по этой фигуре, вернется к началу своего пути, но только в зеркальном отражении самого себя. Таким образом, бесконечная лента Мебиуса может привести к вечному путешествию.
5. Особый хроматический номер, показывающий, какое максимально возможное число областей на поверхности Мебиуса, можно создать так, чтобы у любой из них была общая граница со всеми другими. Лента Мебиуса имеет хроматический номер – 6, а вот кольцо из бумаги – 5.
Научное использование
Сегодня лист Мебиуса и его свойства широко применяются в науке, служа основой для построения новых гипотез и теорий, проведения исследований и экспериментов, создания новых механизмов и устройств.
Так, существует гипотеза, согласно которой Вселенная - это огромнейшая петля Мебиуса. Косвенно об этом свидетельствует и теория относительности Эйнштейна, согласно которой даже полетевший прямо корабль может вернуться в ту же временную и пространственную точку, откуда стартовал.
Другая теория рассматривает ДНК как часть поверхности Мебиуса, что объясняет сложности с прочтением и расшифровкой генетического кода. Кроме всего прочего, такая структура дает логичное объяснение биологической смерти – замкнутая на самой себе спираль приводит к самоуничтожению объекта.
По мнению физиков, многие оптические законы основываются на свойствах листа Мебиуса. Так, например, зеркальное отражение - это особый перенос во времени и человек видит перед собой своего зеркального двойника.
Реализация на практике
В различных отраслях промышленности лента Мебиуса применение нашла уже давно. Великий изобретатель Никола Тесла в начале века изобрел резистор Мебиуса, состоящий из двух скрученных на 1800 проводящих поверхностей, который может противостоять потоку электрического тока без создания электромагнитных помех.
На основе исследований поверхности ленты Мебиуса и ее свойств было создано множество устройств и приборов. Ее форму повторяют при создании полосы ленточного конвейера и красящей ленты в печатных устройствах, абразивных ремней для заточки инструментов и автоматической передачи. Это позволяет значительно увеличить срок их службы, так как изнашивание происходит более равномерно.
Не так давно удивительные особенности листа Мебиуса позволили создать пружину, которая, в отличие от обычных, срабатывающих в противоположном направлении, не меняет направление срабатывания. Применяется она в стабилизаторе рулевого привода штурвала, обеспечивая возврат рулевого колеса в исходное положение.
Кроме того, знак лента Мебиуса используется в разнообразных торговых марках и логотипах. Самый известный из них - это международный символ вторичной переработки. Его проставляют на упаковках товаров либо пригодных для последующей переработки, либо сделанных из переработанных ресурсов.
Источник творческого вдохновения
Лента Мебиуса и ее свойства легли в основу творчества многих художников, писателей, скульпторов и кинематографистов. Самый известный художник, использовавший в таких своих работах, как «Лента Мебиуса II (Красные муравьи)», «Всадники» и «Узлы», ленту и ее особенности - Мауриц Корнелис Эшер.
Листы Мебиуса, или, как их еще называют, поверхности минимальной энергии, стали источником вдохновения для математических художников и скульпторов, например, Брента Коллинза или Макса Билла. Самый известный памятник ленте Мебиуса установлен у входа в вашингтонский Музей истории и техники.
Русские художники также не остались в стороне от этой темы и создали свои работы. Скульптуры «Лента Мебиуса» установлены в Москве и Екатеринбурге.
Литература и топология
Необычные свойства поверхностей Мебиуса вдохновили многих писателей на создание фантастических и сюрреалистических произведений. Петля Мебиуса играет важную роль в романе Р. Желязны «Двери в песке» и служит как средство перемещения сквозь пространство и время для главного героя романа «Некроскоп» Б. Ламли.
Фигурирует она и в рассказах «Стена темноты» Артура Кларка, «На ленте Мебиуса» М. Клифтона и «Лист Мебиус» А. Дж. Дейча. По мотивам последнего режиссером Густаво Москера был снята фантастическая кинокартина «Мебиус».
Делаем сами, своими руками!
Если вас заинтересовала лента Мебиуса, как сделать ее модель, вам подскажет небольшая инструкция:
1. Для изготовления ее модели потребуются:
Лист обычной бумаги;
Ножницы;
Линейка.
2. Отрезаем полосу от листа бумаги так, чтобы ее ширина была в 5-6 раз меньше длины.
3. Полученную бумажную полоску раскладываем на ровной поверхности. Один конец придерживаем рукой, а другой поворачиваем на 1800 так, чтобы полоса перекрутилась и изнанка стала лицевой стороной.
4. Склеиваем концы перекрученной полосы так, как показано на рисунке.
Лента Мебиуса готова.
5. Возьмите ручку или маркер и посередине ленты начните рисовать дорожку. Если вы сделали все правильно, то вернетесь в ту же точку, откуда начали чертить линию.
Для того чтобы получить наглядное подтверждение тому, что лента Мебиуса - односторонний объект, карандашом или ручкой попробуйте закрасить какую-либо ее сторону. Через некоторое время вы увидите, что закрасили ее полностью.опубликовано econet.ru
Техника - молодёжи 1984-09, страница 65
источники
Всем известно, что мир наш имеет три измерения, что Земля вращается вокруг Солнца, что любая поверхность имеет две стороны: верхнюю и нижнюю… А вот и не угадали! Не любая. Потому что, оказывается, существуют поверхности, которые имеют только одну сторону, и это научно доказано.
Кто изобретатель?
Это геометрическое явление было открыто почти одновременно, но независимо друг от друга, двумя немецкими учеными: Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом (1858г.). ? Сам математик изготовил её из листа бумаги и она оказалась первой известной человечеству односторонней поверхностью. До той поры считалось, что невозможно попасть из одной точки данной поверхности, не пересекая её края, в любую другую.
Как сделать ленту Мёбиуса своими руками?
Вы сами можете сделать модель листка Мёбиуса
и на собственном опыте убедиться, что у него действительно одна сторона. Все очень просто. Для этого Вам понадобиться листок бумаги, ножницы, клей, какая-нибудь краска двух цветов и, конечно же, Ваше неугасающее любопытство.
Начнем с того, что из бумажного листа надо вырезать ленту с размерами приблизительно 24х4 см. Затем для ясности обозначим углы с одной стороны ленты A и B, с другой – C и D. Далее бумажную полоску нужно перекрутить один раз и склеить таким образом, чтоб угол A совместился с углом D, а угол B – с углом C. Получившаяся фигура и носит название ленты Мёбиуса.
Само изделие мы создали, теперь осталось придумать, как сделать проверку ленты Мёбиуса на односторонность. Чтобы это осуществить, возьмем любую краску и начнем постепенно окрашивать изготовленную ленту с одной стороны сантиметр за сантиметром не переходя ни в коем случае через её край. Краску иного цвета оставим для другой стороны. Вскоре станет видно, что её применять не к чему, потому что белой бумаги совсем не осталось. Значит, таки правда, лента Мёбиуса – односторонняя поверхность.
Неожиданные результаты дает также и разрезание листка Мёбиуса. Как сделать из одной ленты Мёбиуса две, но уже? Казалось бы, что может быть проще: взять да и разрезать ровно посерединке. Но образуется не два кольца, как ожидается, а одно большое. Последующие разрезания ленты будут удивлять Вас все больше и больше.
Как ленту Мёбиуса сделали незаменимым открытием
Всё это забавно и увлекательно, но лента Мёбиуса не просто интересная игрушка. Многие учёные задумывались над тем, как сделать ленту Мёбиуса полезной для человечества
, найти ей достойное применение. В наши дни зарегистрировано множество таких изобретений, среди них и двусторонний способ записывания звука на киноленту без перематывания плёнки, и особенные кассеты для магнитофонных лент. А в 1969 году советский изобретатель А. Губайдуллин получил авторское свидетельство на бесконечную шлифовальную ленту, которая работает сразу обеими сторонами на основе листка Мёбиуса.
Некоторые ломали головы над тем, как сделать ленту Мёбиуса
неким «предком» символа бесконечности, ведь двигаться поверхностью ленты можно действительно вечно. Но этот факт себя не оправдал, так как данный символ существовал задолго до открытия Мёбиуса.
Вот такими удивительными способностями обладают некоторые, на первый взгляд простые, предметы.
Односторонняя головоломка
Поскольку каждый лист бумаги имеет две стороны, то, когда вы рисуете, вам необходимо поднять карандаш и перевернуть бумагу, чтобы нарисовать на другой стороне. Если бы бумага имела только одну сторону, вы могли бы писать на любой ее части, не отрывая карандаша. Если жук ползает по односторонней бумаге, он может попасть в любую ее часть, не перебираясь через острые края, верно? И всегда может вернуться туда, откуда начал свою прогулку. Разве подобное возможно?
Настоящий односторонний лист бумаги был открыт немецким астрономом и математиком по имени Август Фердинанд Мёбиус. В его честь такой лист называется лента Мёбиуса.
Мёбиус изучал раздел математики, называемый топологией и исследующий поверхности объектов. Топологи, так называют математиков, занимающихся топологией, выясняют, что происходит с вещами при их деформировании, когда они изменяют свою форму, не разрываясь или с образованием отверстий. Я приведу вам пару примеров.
В моем воображении я могу искривить и растянуть гвоздь, придав ему форму кусочка жевательной резинки, не так ли? (Конечно же, в топологии мы используем наше воображение. Многие вещи нельзя воплотить в реальность.) А могу ли я взять ножницы и растянуть их в форме жевательной резинки? Нет! Не получится, поскольку в ножницах есть отверстия в ручках. Как бы я мысленно ни изменял их первоначальную форму, в них все равно останутся отверстия. А для тополога все веши без отверстий одинаковы, так же как и все вещи с равным количеством отверстий. Это довольно сложная наука, но, если вы хоть немного начали понимать это, вы можете стать хорошим топологом. Эти примеры требуют очень хорошего воображения, и они – только начало в науке о топологии.
Суть в том, что топологи изучают поверхности предметов. Для тополога лист бумаги имеет две стороны. (Он может сказать даже, что их шесть, если он подумает о кромках.) Если ему нужна бумага с одной стороной, он будет думать о том, как их можно соединить в одну. Это именно то, чем занимался Мёбиус, и вот какое решение он нашел.
Приступаем к изготовлению ленты Мёбиуса
Это исследование похоже на то, которое вы проводили в конце первого раздела. Во-первых, сделайте кольцо из полоски газетной бумаги, склеив ее концы клейкой лентой. Проведите карандашом линию вдоль середины полоски. После этого вы обнаружите, что линия проходит по одной, внешней стороне. Этот кусочек бумаги, хотя и стал кольцом, все еще имеет две стороны!
Лента Мёбиуса своими руками:
Скрепите другую полоску бумаги в кольцо, но перед тем, как склеить концы, поверните полоску на пол-оборота. Обведите ее вдоль середины. Вы вернетесь к тому месту, откуда начали, и ваша линия пройдет по обеим сторонам! Хотя вы не отрывали карандаша от бумаги, чтобы «нарисовать на другой стороне», эта бумажная полоска (с повернутым концом) и есть знаменитая лента Мёбиуса, лист бумаги, у которого только одна сторона!
Когда вы сделаете ленту Мёбиуса, можете продолжить ее исследование. Естественно, лист бумаги с одной-единственной стороной очень отличается от любого другого листа, с которым вы когда-либо сталкивались в своей жизни.
А насколько он другой?
Разрежьте ножницами первое (обыкновенное) кольцо вдоль проведенной вами линии. Вы получите в результате два отдельных бумажных колечка. Этого-то вы и могли ожидать от двухстороннего листа бумаги.
Сделайте такой же разрез на ленте Мёбиуса (с повернутым концом). На этот раз вы получите одно кольцо, которое будет вдвое длиннее исходного.
Действительно, односторонняя бумага очень отличается.
Если вы удивлены тем, что случилось со второй стороной или почему полоска оказалась вдвое длиннее, то я боюсь, что вам придется подождать с вопросами. Хотя топология – одна из самых захватывающих наук, настоящее ее понимание требует огромных знаний. Возможно, этот простой эксперимент заставит вас заинтересоваться «странным миром топологии», о котором вы наверняка еще не раз вспомните.
Представим себе поверхность и сидящего на ней муравья. Удастся ли муравью доползти до обратной стороны поверхности – образно говоря, до её изнанки, - не перелезая через край? Конечно же нет!
Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868)
Первый пример односторонней поверхности, в любое место которой может доползти муравей, не перелезая через край, привел Мёбиус в 1858г.
Лента Мебиуса, которую также называют петлей, поверхностью или листом, – это объект изучения такой математической дисциплины, как топология, исследующей общие свойства фигур, сохраняющихся при таких непрерывных преобразованиях, как скручивание, растяжение, сжатие, изгибание и других, не связанных с нарушением целостности. Удивительной и неповторимой особенностью такой ленты является то, что он имеет всего одну сторону и край и никак не связаны с ее расположением в пространстве. Лист Мебиуса является топологическим, то есть непрерывным объектом с простейшей односторонней поверхностью с границей в обычном Евклидовом пространстве (3-мерном), где возможно из одной точки такой поверхности, не пересекая края, попасть в любую другую.
Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) – ученик «короля» математиков Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие, кому математика обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX века.
В возрасте 68 лет Мёбиусу удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мёбиуса (или лента). Мёбиус придумал ленту, когда наблюдал за горничной, неправильно одевшей на шею свой платок.
В Евклидовом пространстве, фактически, существует два типа ленты Мебиуса, развернутой вполоборота: одна - развернутая по часовой стрелке, другая - против часовой стрелки.
Ленте Мебиуса присущи следующие свойства, не меняющиеся при ее сжимании, разрезании вдоль или сминании:
1. Наличие одной стороны. А. Мебиус в своем труде «Об объеме многогранников» описал геометрическую поверхность, названную затем в его честь, обладающую всего одной стороной. Проверить это довольно просто: берем ленту или лист Мебиуса и стараемся закрасить внутреннюю сторону одним цветом, а внешнюю – другим. Не суть важно, в каком месте и направлении было начато окрашивание, вся фигура будет закрашена одним цветом.
2. Непрерывность выражается в том, что любую точку этой геометрической фигуры можно соединить с любой другой ее точкой, не пересекая границы поверхности Мебиуса.
3. Связность, или двухмерность, заключается в том, что при разрезании ленты вдоль, из нее не получится несколько разных фигур, и она остается цельной.
4. В ней отсутствует такое важное свойство, как ориентированность. Это значит, что человек, идущий по этой фигуре, вернется к началу своего пути, но только в зеркальном отражении самого себя. Таким образом, бесконечная лента Мебиуса может привести к вечному путешествию.
5. Особый хроматический номер, показывающий, какое максимально возможное число областей на поверхности Мебиуса, можно создать так, чтобы у любой из них была общая граница со всеми другими. Лента Мебиуса имеет хроматический номер – 6, а вот кольцо из бумаги – 5.
Сегодня лист Мебиуса и его свойства широко применяются в науке, служа основой для построения новых гипотез и теорий, проведения исследований и экспериментов, создания новых механизмов и устройств. Так, существует гипотеза, согласно которой Вселенная - это огромнейшая петля Мебиуса. Косвенно об этом свидетельствует и теория относительности Эйнштейна, согласно которой даже полетевший прямо корабль может вернуться в ту же временную и пространственную точку, откуда стартовал.
Другая теория рассматривает ДНК как часть поверхности Мебиуса, что объясняет сложности с прочтением и расшифровкой генетического кода. Кроме всего прочего, такая структура дает логичное объяснение биологической смерти – замкнутая на самой себе спираль приводит к самоуничтожению объекта. По мнению физиков, многие оптические законы основываются на свойствах листа Мебиуса. Так, например, зеркальное отражение - это особый перенос во времени и человек видит перед собой своего зеркального двойника.
Если вас заинтересовала лента Мебиуса, как сделать ее модель, вам подскажет небольшая инструкция:
1. Для изготовления ее модели потребуются: - лист обычной бумаги;
- ножницы;
- линейка.
2. Отрезаем полосу от листа бумаги так, чтобы ее ширина была в 5-6 раз меньше длины.
3. Полученную бумажную полоску раскладываем на ровной поверхности. Один конец придерживаем рукой, а другой поворачиваем на 180* так, чтобы полоса перекрутилась и изнанка стала лицевой стороной.
4. Склеиваем концы перекрученной полосы так, как показано на рисунке.
Лента Мебиуса готова.
5. Возьмите ручку или маркер и посередине ленты начните рисовать дорожку. Если вы сделали все правильно, то вернетесь в ту же точку, откуда начали чертить линию.
Для того чтобы получить наглядное подтверждение тому, что лента Мебиуса - односторонний объект, карандашом или ручкой попробуйте закрасить какую-либо ее сторону. Через некоторое время вы увидите, что закрасили ее полностью.
Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных - «Лист Мёбиуса II», показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.
Лист Мёбиуса является эмблемой серии научно-популярных книг серии «Библиотечка „Квант“». Он также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка «Стена темноты». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщённым листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (например, «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера. Также идея ленты Мёбиуса используется в рассказе М. Клифтона «На ленте Мёбиуса».
Лента Мёбиуса используется как способ перемещения в пространстве и времени Гарри Кифа, главного героя романа Брайана Ламли «Некроскоп».
Лента Мёбиуса играет важную роль в фантастическом романе Р. Желязны «Двери в песке».
В книге Е. Наумова «Полураспад» (1989 год) интеллигент-алкоголик путешествует по стране, становясь на ленту Мёбиуса.
С лентой Мёбиуса сравнивается течение романа современного русского писателя Алексея Шепелёва «Echo». Из аннотации к книге: «„Echo“ - литературная аналогия кольца Мёбиуса: две сюжетные линии - „мальчиков“ и „девочек“ - переплетаются, перетекают друг в друга, но не пересекаются».
Лента Мёбиуса также встречается в эссе Харуки Мураками «Облади Облада» из книги-сборника «Радио Мураками», выпущенного в 2010 году, где лента Мёбиуса образно сравнивается с бесконечностью.
В визуальной новелле CHARON "Makoto Mobius" главный герой Ватаро пытается спасти одноклассницу от смерти, используя магический артефакт - ленту Мёбиуса.
В 1987 году советский джазовый пианист Леонид Чижик записал альбом «Лента Мёбиуса», в который вошла и одноимённая композиция.
Гоночный трек в одном из эпизодов (7 сезон 14 серия, 11 минута) мультсериала «Футурама» представляет собой ленту Мёбиуса.
Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде ленты Мёбиуса, будет работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид ленты Мёбиуса для увеличения её ресурса.
Также над входом в институт ЦЭМИ РАН находится мозаичный горельеф «Лента Мёбиуса» работы архитектора Леонида Павлова в соавторстве с художниками Э. А. Жареновой и В. К. Васильцовым (1976)
Архитетурные решения с использованием идеи ленты Мебиуса:
Ювелирные украшения в виде ленты Мёбиуса:
Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.
Устройство под названием резистор Мёбиуса - это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности. Еще применяются ленты Мёбиуса в системах записи на непрерывную плёнку (чтобы удвоить время записи), в матричных принтерах красящая лента также имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.